ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ

Тема 1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве.

Примерное содержание: Кривые. Способы задания кривых. Регулярные и особые точки кривой. Интеграл длины и выбор натурального параметра на кривой. Репер Френе. Динамика репера Френе. Кривизна и кручение пространственной кривой. Центр кривизны и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой. Кривые как траектории материальных точек в механике.

Литература:

Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Элементы дифференциальной геометрии и топологии».

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия».

Рашевский П. К. «Курс дифференциальной геометрии».

Постников М. М. «Линейная алгебра и дифференциальная геометрия».

Постников М. М. «Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия».

Постников М. М. «Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия».

Вернер А. Л., Кантор Б. Е. «Элементы топологии и дифференциальной геометрии».

Tема 2. Криволинейные координаты.

Примерное содержание:Некоторые примеры криволинейных систем координат. Подвижный репер криволинейной системы координат. Замена криволинейных координат. Параллельный перенос. Уравнение прямой в криволинейных координатах. Некоторые вычисления в полярных, цилиндрических и сферических координатах.

Литература:см. Список литературы к теме 1.

Тема 3. Геометрия поверхностей.

Примерное содержание: Параметрическое задание поверхностей. Криволинейные координаты на поверхности. Замена криволинейных координат на поверхности. Подвижный репер поверхности. Деривационные формулы. Символы Кристоффеля и вторая квадратичная форма. Уравнения Гаусса.

Литература:см. Список литературы к теме 1.

Тема 4. Кривые на поверхностях.

Примерное содержание:Параметрическое уравнение кривой на поверхности. Геодезическая и нормальная кривизна кривой. Экстремальное свойство геодезических линий. Интегрирование на поверхностях. Формула Грина. Теорема Гаусса-Бонне.

Литература:см. Список литературы к теме 1.

Тема 5. Универсальная геометрия в природе и архитектуре.

Примерное содержание:Виды геометрий на плоскости и в пространстве и их свойства. Конструктивное и аналитическое задание симметрий. Группы симметрий геометрических фигур. Задачи. Симметрия в искусстве, природе, архитектуре.

Литература:

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986
2. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М:, Просвещение, 1986
3. Бахман Ф.М. Построение геометрии на основе понятия симметрии.М:, 1969
4. Егоров Е.И. и др. Физика в примерах и задачах. М:, 1989
5. Рябов Ю.А. Движение небесных тел. М.: Наука, 1988
6. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1980
7. Энциклопедический словарь юного математика. М.: 1989
8. Журналы «Математика в школе», «квант».
9. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках М.: Наука, 1982
10. Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. – М.: Мир, 1977
11. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М.: 1995
12. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир, 1979
13. Шафрановский И.И. Симметрия в природе.-Л.:Недра,1985.-168.
14. Вигнер Е. Этюды о симметрии.-М.:Мир,1971.-318 с.
15. Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике.-М.:Мир,1974
16. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире.-М.Наука, 1978.
17. Узоры симметрии. Под редакцией М.Сенешаля и Дж.Флека.-М.:Мир,1980.

Тема 6. Кристаллы и математика (кристаллографические группы).

Примерное содержание:Плоские и пространственные решетки. Кристаллы. Кристаллографические группы. Классификация. Кристаллографические группы и кристаллы.

Литература:

1. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир, 1979
2. Шафрановский И.И. Симметрия в природе.-Л.:Недра,1985.-168.
3. Вигнер Е. Этюды о симметрии.-М.:Мир,1971.-318 с.
4. Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике.-М.:Мир,1974.
5. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире.-М.Наука, 1978.
6. Узоры симметрии. Под редакцией М.Сенешаля и Дж.Флека.-М.:Мир,1980.
7. Бахман Ф.М. Построение геометрии на основе понятия симметрии.М.1969

Тема 7. Метод координат в математике.

Примерное содержание:Исторические сведения. Сущность координатного метода. Различные системы координат в математике, астрономии, в жизни. Задачи по геометрии, алгебре, физике, астрономии, решаемые координатным методом.

Литература:

1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. М:, 1990
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986
3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М:, Просвещение, 1986
4. Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-П:, 1997
5. Егоров Е.И. и др. Физика в примерах и задачах. М:, 1989
6. Матвиевская Г.Н. Рене Декарт 1596-1650г., М.: Просвещение, 1987
7. Понтрягин Л.С. Метод координат. М.: 1977
8. Шушара Г.Н. Метод координат. М.: Наука, 1971
9. Журналы «Математика в школе», «квант».
10. Гельфанд И.М. Метод координат. - М.: Наука, 1968

Тема 8.Замечательные кривые в науке и природе.

Примерное содержание:Исторические сведения о линиях второго порядка. Канонические уравнения. Замечательные свойства. Задачи практического содержания на применение этих линий. Лемниската, циклоида, кардиоида и др. замечательные кривые.

Литература:

1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. М:, 1990
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986
3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М:, Просвещение, 1986
4. Гвоздева Н.П., Коркин К.И. Теория оптических систем и оптических измерений. М:, Машиностроение, 1981
5. Егоров Е.И. и др. Физика в примерах и задачах. М:, 1989
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. М-Л.: 1952
7. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: 1969
8. Понтрягин Л.С. Метод координат. М.: 1977
9. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. М.: 1979
10. Рябов Ю.А. Движение небесных тел. М.: Наука, 1988
11. Журналы «Математика в школе», «Квант».

Тема 9. Проблема постулата Eвклида.

Примерное содержание:«Начала» Евклида. Роль 5-го постулата в построении геометрии Евклида. Суть проблемы 5 постулата. Попытки доказательства 5 постулата. Решение проблемы 5 постулата Н.И. Лобачевским, Я. Бояи, К.Ф. Гауссом. Значение сделанного ими открытия.

Литература:

1. Александров А.А. Обоснование геометрии. – М.: Наука, 1987
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия ч. 2 – М.: Просвещение, 1987
3. Егоров И.П. Геометрия. – М.: Просвещение, 1979
4. Каган Е.Ф. Великий ученый Н.И. Лобачевский и его место в мировой науке.
5. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. – М.: 1976
6. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. Пособие для учителей средней школы. – М.: 1955
7. Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. – М.: 1976
8. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. – Учпедгиз, 1961
9. Силин А.В., Исмакова И.А. Открытие неевклидовой геометрии. – М.: 1988

Тема 10. Различные модели неевклидовых геометрий.

Примерное содержание:

Литература: Сущность аксиоматического метода построения научной теории. Примеры различных аксиоматических систем и евклидовой геометрии. Аксиоматика и некоторые теоремы геометрии Лобачевского.Модели геометрии Лобачевского. Доказательство непротиворечивости.Сферическая геометрия, геометрия Римана.

1. Александров А.А. Обоснование геометрии. – М.: Наука, 1987
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия ч. 2 – М.: Просвещение, 1987
3. Егоров И.П. Геометрия. – М.: Просвещение, 1979
4. Каган Е.Ф. Великий ученый Н.И. Лобачевский и его место в мировой науке.
5. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. – М.: 1976
6. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. Пособие для учителей средней школы. – М.: 1955
7. Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее стория и значение. – М.: 1976
8. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. – Учпедгиз, 1961
9. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин – М.: 1985
10. Силин А.В., Исмакова И.А. Открытие неевклидовой геометрии. – М.: 1988