Раздел 1. Теория кривых

Тема 1.1. Векторные функции одного скалярного аргумента и их свойства.

Различные подходы к определению линии.

Параметрическое и векторное уравнения линии.

Эквивалентные параметризации.

Касательная к линии.

Длина дуги линии.

Тема 1. 2. Метод подвижного репера и его применение к изучению плоских и пространственных кривых.

Естественная параметризация линии.

Вывод формул Френе.

Тема 1.3. Формулы для вычисления кривизны и кручения в произвольной параметризации.

Кривизна кривой.

Кручение кривой.

Натуральные уравнения линии.

Тема 1. 4. Применение сопровождающего трехгранника к изучению свойств линии.

Сопровождающий трехгранник линии.

Винтовая линия.

Плоские кривые.

Эволюта и эвольвента плоской линии.

Раздел 2. Теория поверхностей.

Тема 2.1. Векторная функция двух скалярных аргументов и ее свойства.

Определение поверхности.

Гладкие поверхности.

Эквивалентные параметризации поверхности.

Линии на поверхности.

Криволинейные координаты на поверхности.

Касательная плоскость и нормаль.

Тема 2.2. Первая квадратичная форма.

Длина дуги.

Величина дуги.

Площадь замкнутой области на поверхности.

Тема 2.3. Вторая квадратичная форма поверхности.

Нормальная и геодезическая кривизны линии на поверхности.

Индикатриса кривизны.

Классификация регулярных точек поверхности.

Инварианты пары квадратичных форм.

Главные, средняя и гауссова кривизны поверхности.

Тема 2.4. Применение метода подвижного репера к изучению свойств поверхности.

Деривационные формулы.

Символы Кристоффеля.

Теорема Гаусса-Бонне.

Геодезические линии и их свойства.

Раздел 3. Внутренняя геометрия поверхности.

Тема 3.1. Реализации «в малом» неевклидовых геометрий на поверхностях.

Раздел 4. Многомерные геометрические объекты

Тема 4.1. Модели проективных пространств малой размерности.

Проективное пространство.

Аффинная карта проективного пространства.

Модели проективных пространств малой размерности.

Матричные группы как поверхности.