Тема 1. Методологические основы математики

Предмет и основные особенности математики как науки. Природа математических понятий. Виды абстракций в математике. Аксиоматический метод. Математические методы познания. Идеи и методы школьной математики.

Тема 2. Арифметические и алгебраические основы учебных курсов математики

Различные схемы построения числовой линии. Принцип расширения множества как основа построения новых числовых множеств. Натуральные числа, подходы к определению понятия, особенности построения теории. Аксиоматическое построения теории, примеры систем аксиом. Свойства числовых множеств, изучаемых в школьном курсе математики. Порядковая и алгебраическая структуры множества N , Z и др.

Тема 3. Функциональная линия в школьном курсе математики

Классическое направление в трактовке общего понятия функции. Теоретико-множественное направление в трактовке понятия функции. Понятие элементарной функции. Общая тенденция в определении элементарных функций. Подходы к построению теории показательной функции. Традиционный подход к построению теории показательной функции, этапы построения. Показательная функция как обобщение экспоненциальной функции. Аксиоматическое определение показательной функции, теорема существования и единственности. Подходы к построению теории показательной функции. Показательная функция как обобщение экспоненциальной функции. Элементарные функции как решения функциональных уравнений. Введение элементарных функций дифференциальными уравнениями.

Тема 4. Избранные вопросы школьной геометрии

Основные подходы к построению учебных курсов геометрии. Особенности классического и современного подходов. Примеры научных и школьных аксиоматик. Векторное построение теории. Фрагменты обоснования теории по Вейлю.

Тема 5. Теоретико-множественные аспекты школьной математики

«Наивная» теория множеств Г. Кантора. Аксиоматические теории множеств. Аксиоматика Цермело – Френкеля. Конструирование математических объектов на основе понятий теории множеств. Теория множеств и учебные курсы математики.

Тема 6. Логические основы школьной математики

Математические понятия: содержание и объем. Определение и классификация понятий. Виды определений. Требования к определению понятий "через род и видовые отличия". Математические суждения. Теоремы, виды теорем. Необходимые и достаточные условия. Доказательство теорем. Структура доказательств.