ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

1. Топология как наука.
2. Покрытие, подпокрытие, топология. Примеры.
3. Различные определения топологического пространства. Примеры.
4. Взаимное расположение точек и множеств в топологическом пространстве.
5. Теоремы об открытых и замкнутых множествах.
6. База топологии.
7. Пространство со счетной базой, примеры. Предбаза топологии.
8. Метрическое пространство. Определение и примеры.
9. Связь метрических и топологических пространств.
10. Подпространство топологического пространства.
11. Некоторые свойства топологических пространств.
12. Открытые и непрерывные отображения топологических пространств. Связь между ними. Примеры.
13. Гомеоморфизм, примеры.
14. Компактность, отделимость, связность.
15. Определение n -мерной карты, атласа пространства, n -мерного топологического многообразия. Примеры.
16. Определение гладкого многообразия, примеры.
17. Локально евклидово пространство, свойства. Другое определение топологического многообразия, примеры.
18. Замкнутые и открытые многообразия. Примеры. Свойства многообразий.
19. Гладкие отображения.
20. Диффеоморфизм.
21. Гладкая поверхность как многообразие.
22. Матричные группы.
23. Проективная плоскость и проективное пространство.
24. Многообразие с краем.
25. Риманова метрика.
26. Касательный вектор, касательное пространство к многообразию.
27. Векторные поля на многообразии.
28. Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.
29. Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.
30. Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой точкой.
31. Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.
32. Доказать, что y = x 3 – непрерывное отображение.
33. Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.