Раздел 1. Введение в топологию

Тема 1. 1. Элементы общей топологии

Топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность.

Тема 1.2. Гладкие многообразия

Определение гладкого многообразия, отображений многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем. Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.

Раздел 2. Тензорный анализ на многообразиях

Тема 2.1. Тензоры на римановом многообразии

Общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса, кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра, поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств.

Тема 2.2. Связность и ковариантное дифференцирование

Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий.

Тема 2.3. Дифференциальные формы и теория интегрирования

Разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса, примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.

Тема 2.4. Элементы топологии многообразий

Элементы топологии многообразий: гомотопия - определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения - определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу, степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности, теорема Гаусса-Бонне, индекс особой точки век­торного поля, теорема Пуанкаре-Бендиксона.