Тема 1.1. Линейное векторное и аффинное пространства. Операции над векторами

Аксиоматическое определение линейного векторного пространства. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства. Аксиоматическое определение аффинного пространства. Простейшие следствия из аксиом аффинного пространства. Геометрический вектор. Операции сложения геометрических векторов и умножения на действительное число. Вычитание векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.

Тема 1. 2 n-мерное векторное пространство. Базис

Аксиоматическое определение n-мерного векторного пространства. Определение базиса. Подпространства векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса и их свойства. Условие коллинеарности и компланарности векторов в координатах. Переход от одного базиса к другому. Ориентация векторного пространства.

Тема 1.3. Скалярное произведение векторов. Евклидово векторное пространство

Аксиоматическое определение скалярного произведения векторов. Определение евклидова векторного пространства. Угол между векторами. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов в координатах.

Тема 1.4. Векторное произведение векторов

Определение векторного произведения векторов. Векторное произведение в координатах. Свойства векторного произведения векторов.

Тема 1.5. Смешанное произведение векторов

Определение. Геометрический смысл модуля смешанного произведения векторов. Смешанное произведение в координатах, свойства смешанного произведения векторов.

Раздел 2. Прямая и плоскость

Тема 2.1. Аффинное n-мерное пространство. Аффинная система координат на плоскости и в трехмерном пространстве

Аксиоматическое определение аффинного n-мерного пространства. Определения прямой, отрезка, луча, угла, параллельных прямых. Определение плоскости. Аффинная система координат. Определение координат точек. Деление отрезка в данном отношении. Формулы преобразования координат точек.

Тема 2.2. Прямая линия на плоскости

Метод координат. Алгебраическая линия и ее порядок. Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Исследование общего уравнения прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Р(х,у)=Ах+Ву+С. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Тема 2.3. Плоскость в трехмерном аффинном пространстве

Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности вектора и плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Геометрический смысл знака многочлена Р(х,у,z)=Ах+Ву+Сz+D. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

Тема 2.4. Прямая в трехмерном пространстве

Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Тема 2.5. Евклидово n-мерное пространство

Определение. Прямоугольная система координат. Понятие длины отрезка и меры угла. Уравнение окружности. Преобразования прямоугольных систем координат на плоскости. Метрические вопросы теории прямых на плоскости. Метрические вопросы теории плоскостей и прямых в пространстве. Полярная система координат.

Раздел 3. Преобразования плоскости

Тема 3.1. Отображения и преобразования. Аффинные преобразования плоскости и их свойства

Определения отображений, преобразований, произведения преобразований. Теорема о группе преобразований, теорема о подгруппе. Аффинные преобразования плоскости и пространства. Теорема о преобразовании векторов. Общие свойства аффинных преобразований. Основная теорема. Аналитическое задание аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований плоскости. Аффинная эквивалентность фигур.

Тема 3.2. Изометрические преобразования и их свойства

Определение изометрических преобразований (движений) и их аналитическое задание. Частные виды движений. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Равенство фигур.

Тема 3.3. Подобные преобразования плоскости

Гомотетия на плоскости. Аналитическое задание гомотетии. Преобразование подобия на плоскости. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппа. Групповой подход к геометрии.

Раздел 4. Линии второго порядка

Тема 4.1. Эллипс

Определение и вывод канонического уравнения. Исследование свойств эллипса по каноническому уравнению. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

Тема 4.2. Гипербола, парабола

Определение и вывод канонического уравнения гиперболы. Исследование свойств. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Определение и вывод канонического уравнения параболы. Исследование свойств параболы. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.

Тема 4.3. Квадратичные функции на плоскости

Определение квадратичных функций и квадратичных форм. Теоремы о преобразовании квадратичных форм и функций, понятие инварианта квадратичной функции. Теоремы об ортогональных инвариантах.

Тема 4.4. Общее уравнение линии второго порядка

Понятие общего уравнения линии второго порядка. Теоремы о приведении общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду методом поворота системы координат и методом параллельного переноса системы координат. Канонические уравнения линий второго порядка.

Тема 4.5. Пересечение линии второго порядка с прямой. Центр линии

Возможные случаи пересечения линий второго порядка с прямой. Аксиоматические направления и асимптоты линий второго порядка. Понятие центра линии, теорема о нахождении центра линии второго порядка.

Тема 4.6. Диаметры линий второго порядка

Диаметры, сопряженные диаметры, сопряженные направления, главные диаметры, оси. Получение канонических уравнений линий второго порядка при помощи ортогональных инвариантов. Аффинная классификация линий второго порядка.

Раздел 5. Поверхности второго порядка

Тема 5.1. Понятие поверхности. Метод сечений исследования поверхностей

Понятие поверхности. Теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка (без доказательства). Метод сечений исследования поверхностей.

Тема 5.2. Цилиндрические и конические поверхности

Понятие цилиндрической поверхности. Критерий цилиндрических поверхностей. Цилиндры второго порядка. Конические поверхности второго порядка.

Тема 5.3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды

Уравнения указанных поверхностей. Исследование свойств по каноническим уравнениям и методом сечений. Аффинная классификация поверхностей второго порядка..

Раздел 6. Проективная плоскость

Тема 6.1. Проективное n-мерное пространство

Центральное проектирование и его свойства. Расширенная прямая, плоскость, пространство. Понятие проективного n-мерного пространства и его частных случаев. Модели проективной прямой, плоскости, пространства.

Тема 6.2. Проективные системы координат на проективной прямой и проективной плоскости

Проективные координаты точек на плоскости. Проективные координаты точек на прямой. Однородные аффинные координаты. Преобразование координат точек на проективной прямой и проективной плоскости. Уравнение прямой. Координаты прямой.

Тема 6.3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Малый и большой принципы двойственности. Трехвершинник. Теорема Дезарга.

Тема 6.4. Сложное отношение 4-х точек и 4-х прямых пучка

Свойства сложного отношения 4-х точек прямой и сложного отношения 4-х прямых пучка. Гармоническая сопряженная четверка точек и четверка прямых пучка. Полный 4-х-вершинник и его свойства.

Тема 6.5. Проективные преобразования и отображения

Проективные преобразования и их свойства. Гомология. Группа проективных преобразований. Аналитическое задание проективных преобразований плоскости. Проективные отображения прямых и пучков. Проективные преобразования прямой.

Тема 6.6. Линии второго порядка на проективной плоскости

Определения. Теорема Штейнера. Полный 6-ти-вершинник. Теорема Паскаля и ее частные случаи. Полюс и поляра. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения.