Тема 1. Математика как наука. Периоды развития математики

Специфика математики как науки. Источники и движущие силы развития математики и ее общественные функции. Возникновение математических понятий в эпоху первобытнообщинного строя. Историческое и логическое в формировании исходных математических понятий. Создание практической математики (древние цивилизации Востока).

Возникновение теоретической математики (Древняя Греция и эллинистические страны); три классические задачи древности. Последующее развитие математики на Востоке и на Западе до XV и XVI вв. Открытие неевклидовой геометрии, создание теории групп и теории множеств XIX - XX вв. Математика в эпоху современной научно-технической революции

Предмет математики и стиль математического мышления. Основные направления развития современной математики. Мировоззренческая направленность математики. Методологическая культура педагога-математика.

Тема 2. Развитие понятия о числе

Натуральные числа и дроби. Разработка понятия положительного вещественного числа в арабской научной литературе и в Европе XVI - XVII вв.(до Ньютона). Введение и применение отрицательных чисел в Китае, Индии и средневековой Европе. Комплексные числа (Кардано, Бомбелли и др.). Гиперкомплексные числа Гамильтона и Грассмана.

Тема 3. Развитие понятия о пространстве

Атомистические модели пространства пифагорейцев и Демокрита. Непрерывная модель пространства Аристотеля -Евклида. Борьба атомистических и континуальных концепций пространства в средние века и в новое время. Зарождение идеи многомерного пространства в XVI - XVIII вв.

Тема 4. Аксиомы геометрии

Система определений, аксиом и постулатов Евклида. Первые попытки доказательства V постулата в античности и в странах средневекового Востока. Теория параллельных линий Саккери, Ламберта, Лежандра. Открытие неевклидовой геометрии: Лобачевский, Бояи, Гаусс. Аксиоматика Гильберта. Неархимедовы, непаскалевы, недезарговы геометрии.

Тема 5. Геометрические построения

Геометрия древних египтян и вавилонян. Геометрия "Начал" Евклида. Методы построения конических сечений. Построения с помощью линейки и циркуля постоянного раствора. Теорема Штейнера. Проблема построения правильных многоугольников циркулем и линейкой (теорема Гаусса).

Тема 6. Геометрические преобразования. История развития тригонометрии

Гомотетия и инверсия у Аполлония. Сжатие у Архимеда. Аффинные преобразования у Ибн Корры и Ибн Синана. Стереографическая проекция у Платона, ее применение в астролябиях. История формул плоской и сферической тригонометрии. Проективная геометрия Дезарга и Паскаля. Возрождение проективной геометрии (Монж, Карно, Понселе, Шаль Штейнер). Геометрические преобразования у Мебиуса. Проективная и другие модели геометрии Лобачевского. Геометрия и теория групп. "Эрлагенская программа" Клейна.

Тема 7. Развитие понятия функции

Функциональные зависимости в древности (таблицы хорд Птолемея, "симптомы" конических сечений) и в арабской науке. Кинематически-геометрическая концепция функции в средневековой науке. Переменные величины и функции в XVII в. Аналитическое представление функций. Математическая физика и расширение понятия функции. Общее определение функции (Эйлер, Фурье, Лобачевский, Дирихле) и его критический анализ. Аналитические функции. Дельта-функция Дирака.

Тема 8. Математическая символика

Нумерации древних народов. Аттическая и римская нумерации. Буквенные системы нумераций. Позиционные системы. Вопрос о происхождении арабских цифр. Развитие алгебраической символики до конца XVIII в. Другие важнейшие символы математики XVIII - XX вв. Значение символики в прогрессе математики.

Тема 9. Развитие математического анализа 

Зарождение инфинитезимальной математики. Накануне великого открытия. Метод флюксий Ньютона. Дифференциальное исчисление Лейбница. Первые шаги в истории исчисления. Математический анализ в XVIII веке.

Тема 10. Возникновение и развитие алгебры

Элементы алгебры в Древнем Вавилоне. «Геометрическая алгебра» Древней Греции. Рождение буквенной алгебры. Алгебра в Средние века на Арабском Востоке и в Европе. Первые успехи алгебры в Европе. Алгебра в XVII – XVIII веках. Теория алгебраических уравнений в XIX веке. Проблемы теории чисел и рождение коммутативной алгебры. Линейная и некоммутативная алгебра.

Тема 11. Развитие теории вероятностей

Предыстория теории вероятностей. Формирование основ теории вероятностей. История формирования понятия случайной величины. Истории теории случайных процессов.

Тема 12. Становление и развитие математической логики

Предыстория математической логики. Символическая логика в XVII – XVIII столетиях. Математическая логика в XIX веке. Предпосылки первых дедуктивных систем математической логики.

Тема 13. История экстремальных задач и предыстория функционального анализа

Зарождение бесконечномерного анализа. Теория вариационных задач и начала функционального анализа. Создание функционального анализа и теория экстремальных задач.

Тема 14. Математика в России

Математические рукописи. "Арифметика" Магницкого. Леонард Эйлер и создание первой математической школы в Петербурге. Работы Остроградского по анализу и по уравнениям математической физики. Н.И. Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии. П.Л. Чебышев и петербургская математическая школа. Вклад А.А. Маркова в теорию вероятностей. Работы А.М. Ляпунова по математической физике и устойчивости движения. С.В. Ковалевская. Возникновение новых научных центров. В.А. Стеклов и реорганизация Академии наук. Н.Н. Лузин и московская математическая школа. Важнейшие направления и достижения современных математиков, их роль в развитии математики в настоящее время. Возникновение новых научных направлений в двадцатом веке. Современные проблемы и перспективы развития математики.

Тема 15. Математика в современном мире

Математика в современном мире (Р.Курант). Математика и поведение природы (М. Клайн). Математика – язык науки. Математические модели (Б.Гнеденко). Автоматы и жизнь (А. Колмогоров). Опыт и геометрия (А. Пуанкаре).